SOMA DOS TERMOS DE UMA PG

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Somando os elementos de uma P.G.

Para determinarmos o termo de uma progressão geométrica utilizamos a expressão a_n = a₁*q^n–1, onde:

a_n: posição do termo a ser calculado
a₁: primeiro termo
q: razão
n: número de termos

Em algumas situações precisamos determinar a soma dos termos de uma PG, para isso utilizamos a expressão:



Exemplo 1
Determine a soma dos doze primeiros elementos da progressão geométrica (2, 8, 32, 128, ...).

a₁: 2
q (razão): 8 : 2 = 4
n: 12

Exemplo 2 
Um tipo de bactéria divide-se em duas a cada hora. Após 12 horas, qual será o número de bactérias?

a₁: 1
q: 2
n: 12

Após 12 horas o número de bactérias será igual a 4096.

Exemplo 3
Ao ser atacada por uma praga desconhecida, os frutos de uma mangueira foram apodrecendo dia após dia, obedecendo a uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 2 e razão igual a 3. Se no décimo dia apodreceram os últimos frutos, calcule o número de frutos atacados pela praga.

Resolução:
Podemos analisar a situação da seguinte forma:

1º dia	2º dia	3º dia	4º dia
2	6	18	54

a₁: 2
q: 3
n: 10

O número de frutos atacados pela praga será de 59.048.


Exemplo 4
Uma pessoa resolve guardar um dinheiro obedecendo a uma progressão geométrica de razão 2. Considerando que no primeiro mês ela irá poupar R$ 0,50, qual será o valor poupado no oitavo mês e o total guardado no período?

Valor guardado no 8º mês.
a_n = a₁*q^n–1
a₈ = 0,5*2^8–1
a₈ = 0,5*2⁷
a₈ = 0,5*128
a₈ = 64
No oitavo mês ela irá poupar R$ 64,00.

Total poupado

A quantia poupada no tempo determinado é de R$ 127,50.

 Dada a PG com a₂=5 e q=2/5, calcule a soma dos infinitos termos.

- Primeiro temos que calcular o valor de a1. Para isso vamos usar a fórmula do termo geral: - Agora é só colocar na fórmula da soma:

Sendo , calcule o valor de X:

  (A) 

  (B) 

  (C) 

  (D) 

  (E) impossível de se calcular

- Esta é uma clássica de vestibular. Não é dito no problema que se trata de uma PG, você deve descobrir. O termo a1 vale 5/6, e a razão nós calculamos dividindo o segundo termo pelo primeiro:   - Agora é só substituir na fórmula da soma infinita:

(PUC) Para interpolar 3 meios geométricos entre 6 e 4374, a razão deve ser     (A)      (B)      (C)      (D)      (E)

- Se iremos colocar três meios entre os dois valore dados, 6 e 4374, então: 6 __ __ __ 4374         - Informações do problema:             a1=6             a5=4374         - Vamos aplicar a fórmula do termo geral:             Resposta certa, letra "D".

Quantos meios geométricos devemos interpolar entre  e  para obtermos uma PG de razão .

    (A) 6
    (B) 7
    (C) 8
    (D) 9
    (E) 10

- Informações:                     - Aplicando a fórmula do termo geral para an: Agora tem um truque, vamos multiplicar em cima e em baixo da fração dos parênteses por          - Agora sabemos que a PG terá 9 termos, portanto devemos interpolar 7 termos entre os dois já dados.         Resposta certa, letra "B".

A PARÓDIA DA PG !

http://www.youtube.com/watch?v=qZUFMtPPV6k

 DICAS :



    Numa seqüência, o termo geral fornece o valor naquela posição e a fórmula da soma fornece a soma de todos os termos, incluindo o daquela posição (limitada).
Ex.: no crescimento de uma comunidade que se comporta como P.G, o número de pessoas que nascem em determinado ano é obtido pelo an e o total de pessoas até aquele ano, incluindo aquele ano é o S_n.
OBS: A P.G pode ser aplicada para cálculos de matemática financeira quando se tratar de “juros sobre juros”, ou seja, juros cEx. : Um valor V é aplicado a juros de 10% ao mês. Sendo juros compostos.








O termo geral fornece o valor acumulado (valor + juros) e q é ( 1 – a taxa ) se for desconto ou ( 1 + a taxa ) se for aumento.






1o – Termo Geral: 

an = a₁ . q^n-1 
an = Termo geral 
   a1= 1º Termo 
    n = Número de termos 
    q = Razão 

2 o - Propriedades:

1º) q = (a₂ / a₁ ) = (a₃ / a₂ ) = (a₄ / a₃) = constante 

2º) a₂ ² = a₁ . a₃ 

OBS: Se a1 = q temos ainda: a₁ . a₃ = a₄


( A soma dos índices de cada lado devem ser iguais ) 

TUDO SOBRE PG FINITA

Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número determinado de elementos. Por exemplo, a seqüência (3,6,12,24,48) é uma PG de razão igual a q = 2.

A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. Veja a sua demonstração:

Dada uma PG finita qualquer com n elemento, ou seja, com a quantidade de elementos indefinida. PG finita (a1, a2, a3, ... , an). A soma desses n elementos será feita da seguinte forma:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Sabendo que a2 = a1 . q; a3 = a1 . q²; an = a1 . q^{n – 1}

Podemos dizer que a soma dessa PG será:

Sn = a1 + a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + ... + a1 . q^{n – 2} + a1 . q^{n – 1}.

Como se trata de uma equação, se multiplicar um membro é preciso multiplicar o outro, por isso é necessário multiplicar os dois termos da última equação por q:

q . Sn = (a1 + a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + ... + a1 . q^{n – 1})

q . Sn = a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + a1 . q⁴ + ... + a1 . q^{n – 1} + a1 . qⁿ

Fazendo a subtração:



Colocando em evidência os termos semelhantes, temos:
q . Sn – q . Sn = a1 . qⁿ – a1
Sn (q - 1) = a1 (qⁿ – 1)

Isolando o termo Sn (soma dos elementos), iremos obter a seguinte fórmula:

Sn = a1 (qⁿ – 1)                q - 1

Portanto, a fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é:

Sn = a1 (1 - qⁿ )
        1 - q 
Exemplo: Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584).

Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui.

a1 = 7
q = 2
n = ?
Sn = ?

Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . q^{n – 1}
3584 = 7 . 2^{n – 1}
3584 : 7 = 2^{n – 1}
512 = 2^{n – 1}
2⁹ = 2^{n – 1}
n – 1 = 9
n = 10

Sn = a1 (qⁿ – 1)
                q - 1

S10 = 7 (2¹⁰ – 1)
                   2 – 1

S10 = 7 (1024 – 1)
                     2 – 1

S10 = 7 . 1023

S10 = 7161

Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser:

1. Crescente se para todo n>1: q>1 e a_n<a_n+1.
2. Constante se para todo n>1: q=1 e a_n=a_n+1.
3. Decrescente se para todo n>1: 0<q<1 e a_n>a_n+1.
4. Alternada se para todo n>1: q<0.
   
   
   1.  PG definida por U={5,25,125,625} é crescente, pois a₁<a₂<a₃<a₄.
      
      
   2.  A PG definida por O={3,3,3,3} é constante, pois a₁=a₂=a₃=a₄=3.
      
      
   3.  A Progressão Geométrica definida por N={-2,-4,-8,-16} é decrescente, pois a₁>a₂>a₃>a₄.
      
      

 Sequência muito importante é a sequência geométrica, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Geométrica infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Geométrica finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função é um conjunto finito {1,2,3,...,m} que é um subconjunto próprio de N.

As sequência geométricas são aplicadas a estudos para a obtenção do montante de um valor capitalizado periodicamente, assim como em estudos de Taxas de juros, Financiamentos e Prestações. Tais sequências também aparecem em estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono 14 para a análise da idade de um fóssil ou objeto antigo).

No Ensino Superior tais sequências aparecem em estudos de Sequências e Séries de números e de funções, sendo que a série geométrica (um tipo de sequência obtida pelas somas de termos de uma sequência geométrica) é muito importante para a obtenção de outras séries numéricas e séries de funções.

Progressão Geométrica finita: Uma Progressão Geométrica finita, é uma coleção finita de números reais que possui as mesmas características que uma sequência geométrica, no entanto, possui um número finito de elementos. As Progressões Geométricas são denotadas por PG e são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo termo anterior é um quociente q fixado.

No caso de uma Progressão Geométrica finita, temos os seguintes termos técnicos.

1. m é o número de termos da PG.
2. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral a_n no conjunto G.
3. a_n é o n-ésimo termo da PG, que se lê a índice n.
4. a₁ é o primeiro termo da PG, que se lê a índice 1.
5. a₂ é o segundo termo da PG, que se lê a índice 2.
6. a_m é o último elemento da PG.
7. q é a razão da PG, que pode ser obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, ou seja na PG definida por G={a₁,a₂,a₃,...,a_n-1,a_n}, temos que
   a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ =...= a_n/a_n-1 = q

Sabendo-se que a expressão do termo geral de uma progressão geométrica é definida por , então a soma dos 20 primeiros termos dessa progressão é:

---

Quando temos uma expressão para o termo geral de uma Progressão, tanto PA quanto PG, o que podemos fazer é substituir o valor de n e achar seus termos. Veja só:
Se substituirmos n por 1, iremos achar o primeiro termos, ou seja, a₁.

Agora, substituindo o n por 2, acharemos o segundo termo, ou seja, a₂.

Portanto, a nossa Progressão tem a seguinte cara:

Como sabemos que se trata de uma PG, a razão é igual ao segundo termo dividido pelo primeiro, ou seja:

Agora é só aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG, que é a seguinte:

Vamos agora colocar nossos valores.

De repente essa alternativa tenha dentre as opções. Mas pode ser que o cara que fez a questão tenha expandido a potênica.
Então, devemos calcular este numerozão!
Para calculá-lo vamos aplicar uma propriedade de potenciação que facilitará. Veja só:

1) O valor positivo de x que torna a sucessão uma PG é     (A)     (B)     (C)     (D)     (E)

---

2) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é
    (A) 1
    (B) 2
    (C) 3
    (D) 4
    (E) 5

---

3) O valor de x para que a seqüência seja uma PG é
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (E)

---

4) O conjunto solução da equação é
    (A) 10
    (B) 15
    (C) 20
    (D) 25
    (E) 30

---

5) A soma dos termos de uma PG é expressa por . A razão da progressão é
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (E)

---

6) A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro é:
    (A) -2
    (B) -1
    (C) 0
    (D) 1
    (E) 2

---

7) A seqüência é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (E)

---

8) A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000) é
    (A) 222 222
    (B) 333 333
    (C) 444 444
    (D) 555 555
    (E) 666 666

---

9) Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (E)

---

10) A razão de uma PG cujo termo geral é é
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (E)

---

11) (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo,

    A soma dos elementos da décima linha vale:

    (A) 2066
    (B) 5130
    (C) 10330
    (D) 20570
    (E) 20660

---

12) (UERJ) A figura a seguir mostra um molusco Triton tritoris sobre uma estrela do mar.

Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.

Admita que as medidas dos raios formem uma progressão tal que

Assim, considerando , a soma será equivalente a
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)







GABARITO:

01:D
02:C
03:C
04:C
05:B
06:D
07:C
08:D
09:B
10:A
11:C
12:D