que tal tentarmos resolver ?
Atividades de Progressões Geométricas (PG)
01. Dada a progressão geométrica, calcule o termo pedido:
a) (2, 6, 18, ...) a10
b) (-3, -6, ...) a13
c) (4, -8, ...) a10
d) (12, 6, ...) a9
02. Dada a progressão geométrica, calcule a soma pedida:
a) (2, 6, 18, ...) S10
b) (-3, -6, ...) S13
c) (4, -8, ...) S10
d) (12, 6, ...) S9
03. Dados os termos de uma PG, calcule o que se pede:
a) a1 = 7 e a5 = 112. Calcule a4 e S9
b) a2 = 17 e a7 = -4131. Calcule a4 e S7
c) a5 = 14 e a8 = 14. Calcule a10 e S10
04. Quantos termos tem cada PG dada?
a) (3, 6, ..., 12288)
b) (1, 3, ..., 59049)
c) (-4; 2; ...; 0,03125)
05. Calcule a soma dos termos das progressões geométricas:
a) (6, 3, ...)
b) (24, 8, ...)
c) (6, 4, ...)
d) (12, -6, ...)
06. (Ufrrj 2004) Em uma PA não constante de 7 termos, com termo médio igual a 6, os termos 2º,
4º e 7º , nesta ordem, formam uma PG. Determine esta PA.
07. (Ufsc 2004) Sejam (an) uma progressão geométrica e (bn) uma progressão aritmética cuja
razão é 3/10 da razão da progressão geométrica (an).
Sabendo que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 calcule a soma b1+ b2 + .... + b7. 08. (Fuvest 2005) Uma seqüência de números reais a1, a2, a3, ... satisfaz a lei de formação
an+1 = 6an , se n é impar
an+1 = (1/3) an, se n é par.
Sabendo-se que a1 = 2 ,
a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.
b) determine a37 e a38.
09. Um barco foi comprado novo por R$100.000,00. A cada ano este barco sofre uma
desvalorização de 13%, em função do seu uso. Podemos afirmar que o valor do barco, em reais,
após 6 anos, será dado por:
a)
6
)87,0.(100000
b)
5
)13,0.(100000
c)
6
)13,0.(100000
d)
5
)87,0.(100000
e)
7
)13,0.(100000
10. (PUC-MG) Depois de percorrer um comprimento de arco de 8 m, uma criança deixa de
empurrar o balanço em que está brincando. Se o atrito diminui a velocidade do balanço de modo
que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a 60% do anterior, a distância total
percorrida pela criança, em metros, até que o balanço pare completamente, é dada pela
expressão:
D = 8 + 0,60 × 8 + 0,60 × 0,60 × 8 + ... .
Observando-se que o segundo membro dessa igualdade é a soma dos termos de uma progressão
geométrica, pode-se estimar que o valor de D, em metros, é igual a:
a) 13,33...
b) 15
c) 20
d) 25
e) 75 11. (PUC-SP) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa
quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a
cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há
quantos anos ela era de 500 mil litros?
a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em 1986.
b) Seis.
c) Quatro.
d) Dois.
e) Um.
12. Somando-se os números -4, 8, -16, 32, ..., 8192 temos como resultado:
a) 3029
b) -4063
c) -2022
d) 5460
e) -12426
13. Um atleta, inicialmente no quilômetro 0 de uma estrada, corre até o quilômetro 14. Em seguida,
ele dá meia-volta e retorna correndo metade do percurso. Em seguida, dá meia-volta novamente e
percorre metade do trecho anterior e assim continua indefinidamente. Se ele continuar correndo
desta forma indefinidamente, ele tenderá a se aproximar cada vez mais de um ponto entre
a) os quilômetros 5 e 6.
b) os quilômetros 6 e 7.
c) os quilômetros 7 e 8.
d) os quilômetros 8 e 9.
e) os quilômetros 9 e 10.
14. (UFC) A seqüência (an)n ≥ 1 tem seus termos dados pela fórmula
2
1n
an
+
= . Calcule a soma
dos dez primeiros termos da seqüência (bn)n ≥ 1, onde para n ≥ 1.
n
a
n
2b =15. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
(01) Uma avenida em linha reta possui 20 placas de sinalização igualmente espaçadas. A distância
entre a sétima e a décima placa é 1.200 metros. A distância entre a primeira e a última placa é
7.600 metros.
(02) Se três números inteiros positivos não-nulos formam uma progressão aritmética, e a soma
deles é igual a 36, então o valor máximo que o maior desses números pode ter é 24.
(04) Uma cliente levará 12 meses para saldar uma dívida de R$ 6.400,00 com uma loja de móveis,
pagando R$ 500,00 no primeiro mês, R$ 550,00 no segundo mês, R$ 600,00 no terceiro mês e
assim por diante.
(08) Se o preço de uma cesta básica é, hoje, R$ 98,00 e esse valor diminui 2% a cada mês que
passa em relação ao valor do mês anterior, então daqui a nove meses o preço da cesta básica
será de 100 . (0,98)
10
reais.
(16) No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde o corpo de Jacques Sauniere é
encontrado, alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da Seqüência de
Fibonacci, que é uma seqüência infinita de números em que cada termo, a partir do terceiro, é
igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim, o décimo primeiro termo da
Seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... é o número 79.
16. (UFRS) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês,
passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento,
serão lançados juros de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em reais,
será
a) zero.
b) x/12.
c) (0,88)
12
x.
d) (0,92)
12
x.
e) (1,1)
12
x.
17. (UFJF) Uma progressão aritmética e uma geométrica têm o número 2 como primeiro termo.
Seus quintos termos também coincidem e a razão da PG é 2. Sendo assim, a razão da PA é:
a) 8.
b) 6.
c) 32/5.
d) 4.
e) 15/2. 18. (PUC-MG) O valor de x na igualdade x + (x/3) + (x/9) + ... = 12, na qual o primeiro membro é a
soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, é igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
19. (UFSM) No piso do hall de entrada de um shopping, foi desenhado um quadrado Q1 de 10 m
de lado, no qual está inscrito um segundo quadrado Q2 obtido da união dos pontos médios dos
lados do quadrado anterior e, assim, sucessivamente, Q3, Q4, ..., formando uma seqüência infinita
de quadrados, seguindo a figura. Dessa forma, a soma das áreas dos quadrados é de
a) 25 m
2
b) 25 2 m
2
c) 200 m
2
d) 50 2 m
2
e) 100 (2 + 2 ) m
2
20. (FGV) Uma pintura de grande importância histórica foi comprada em 1902 por 100 dólares, e, a
partir de então, seu valor tem dobrado a cada 10 anos. O valor dessa pintura, em 2002, era de:
a) 100.000 dólares
b) 200.000 dólares
c) 51.200 dólares
d) 102.400 dólares
e) 150.000 dólares 21. (PUC-MG) O número de assinantes de uma revista de circulação na grande BH aumentou, nos
quatro primeiros meses de 2005, em progressão geométrica, conforme assinalado na tabela
abaixo:
Com base nessas informações, pode-se afirmar que, de fevereiro para abril, o número de
assinantes dessa revista teve um aumento igual a:
a) 1.050
b) 1.155
c) 1.510
d) 1.600
22. (UNESP) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões
de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à
página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro
bimestre de 2004 foi
a) 36.
b) 24.
c) 18.
d) 16.
e) 12.
23. (FUVEST) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somandose, respectivamente, 4, - 4 e - 9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão
aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão
aritmética é
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15 24. (UEL) O valor da soma infinita
(3/4) - (4/9) + (9/16) - (8/27) + (27/64) - (16/81) + ... é
a) 2/3
b) 5/6
c) 7/6
d) 5/3
e) 7/3
25. (FGV) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2,
1, ...
Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, pode-se
afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a
a) 68.
b) 102.
c) 136.
d) 153.
e) 192. Gabarito
1. a) 39366 b) -12288 c) -2048 d) 3/64
2. a) 59048 b) -24573 c) -1364 d) 1533/64
3. a) 56 e 3577 b) 153 e -3099,67 c) 14 e 140
4. a) 13 b) 11 c) 8
5. a) 12 b) 36 c) 18 d) 8
6. (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
7. 77
8. a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 , 4 2 , 24 2 , 8 2 e 48 2 .
b) a37 = 2
18
. 2 e a38= 2
19
. 3 2
9. a
10. c
11. e
12. d
13. e
14. )12(62 +
15. 01+ 08 = 09
16. c
17. e
18. a
19. c
20. d
21. b
22. e
23. c
24. d
25. c
quinta-feira, 31 de março de 2011
1) Represente os termos a7, a2, a3 e a4, de uma P.G., em função dos a9, a5, a1 e a3 respectivamente.Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é fundamental que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na resolução deste exercício, portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes forem necessárias, até que o tenha compreendido por completo.
Na parte teórica deste tema vimos que a partir da fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo, exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de qualquer outro termo.
Para representarmos a7 em função de a9 temos:
Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o número de termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, que irá multiplicar o termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do termo original o coeficiente será positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo.
a9 está dois termos à direita a7, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a7 = a9 . q-2.
a5 vem três termos depois de a2, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: a2 = a5 . q-3.
a1 vem dois termos antes de a3, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: a3 = a1 . q2.
a3 está um termo à esquerda a4, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela razão: a4 = a3 . q.
Então:
a7 = a9 . q-2, a2 = a5 . q-3, a3 = a1 . q2 e a4 = a3 . qSe representarmos todos os termos desta progressão em função de a4 teremos:
P.G. ( a4q-3, a4q-2, a4q-1, a4, a4q, a4q2, a4q3 ).
A representação do produto dos termos será então:
Perceba que na expressão acima q-3 anula q3, assim como q-2 anula q2 e q-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a4. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a3, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.
Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:
Portanto:
O quarto termo é igual a 24.O termo y é média geométrica da P.G. e média aritmética da P.A., então matematicamente podemos igualar as duas médias assim:
A variável x pode assumir, portanto os valores 3 e 9,72.
Para x = 9,72 temos a P.A. ( 48,6, y, 27 ) que não é aceitável pois o enunciado especifica uma P.A. crescente, então não podemos considerar o valor 9,72.
Para x = 3 temos a P.A. ( 15, y, 27 ) e a P.G. ( 3, y, 147 ) que estão dentro dos padrões do enunciado.
Como y é um termo médio, tanto da P.A., quanto da P.G., vamos calculá-lo na P.A., pois é mais simples:
Assim sendo:
O valor de x é 3 e o valor de y é 21.Como o terceiro termo está 3 termos à esquerda do sexto termo, podemos expressar a3 em função de a6 da seguinte forma:
Como:
Temos:
Portanto:
O valor do terceiro termo é 100.A razão da sucessão pode ser obtida da seguinte forma:
Para a solução do exercício temos então as seguintes variáveis:
Calculando temos:
Logo:
O valor obtido ao somarmos os 7 primeiros termos da referida P.G. será de 7651.A partir do enunciado montamos duas equações:
Podemos escrevê-las em função do primeiro termo para ficarmos com apenas duas variáveis, a1 e q:
Repare que podemos colocar q em evidência na segunda equação:
Perceba que esta providência nos permitirá encontrar o valor de q, já que o valor que está entre parênteses é exatamente igual à primeira equação:
Substituindo q pelo seu valor na primeira equação, já com os termos colocados em função de a1, encontraremos o valor deste termo:
Finalmente, sabendo que a1 = 8 e que q = 2, podemos calcular o valor da soma dos três primeiro termos:
Portanto:
A soma dos três primeiros termos desta progressão é igual a 56.7) Qual é o produto da multiplicação dos 5 primeiros termos da P.G. ( 6, 9, ... )?
A seguir obtemos a razão da sucessão:
As variáveis que dispomos para a solução do exercício são:
Aplicando a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma progressão geométrica temos:
Enfim:
O produto dos cinco primeiros termos da referida P.G. é de 448403,34375.Do enunciado temos:
Sabemos que o termo a8 é média geométrica dos termos a7 e a9 conforme abaixo:
Podemos calcular a razão da progressão, pois sabemos que podemos obtê-la como a seguir:
Sabendo que a razão q = 3, podemos encontrar a1 que se localiza 6 termos à esquerda de a7. Então temos:
Logo:
O primeiro termo desta P.G. é igual a 2.Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:
Os dados que dispomos são:
Primeiramente precisamos obter o número de itens da sucessão:
Agora já dispomos de todos os dados necessários ao cálculo da soma dos termos:
Assim sendo:
A soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683) é igual a 29520.Como x é média geométrica entre x - 40 e x + 200 temos:
Portanto:
O valor de x na progressão geométrica é 50.
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